行列式

性质

1. 行列式的性质对于行和列都满足
2. 行列式中相邻的两行(列)互换，行列式值反号。注意，不是相邻的行(列)不能直接交换，必须一行一行或者一列一列的交换。
3. 某一行乘 k，行列式乘 k；所有行都乘 k，行列式乘 k 的 n 次方
4. 有两行(列)一样 / 成倍数（提出一个 k 还是一样）行列式值为 0
5. 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和
6. 矩阵可逆 行列式为 0
7. 矩阵转置行列式的值不变
8. |kA| = k^n |A|

矩阵

与矩阵的秩有关的结论

1. A 为 m x n 矩阵，则有 0 ≤ r(A) ≤ min{m,n}
2. AT 为 A 的转置，则有 r(A) = r(AT) = r(AAT) = r(ATA)
3. r(A + B) ≤ r(A,B) ≤ r(A) + r(B)
4. r(AB) ≤ min{r(A),r(B)}
5. 若 A 可逆， r(AB)=r(BA)=r(B)；若 P，Q 可逆，则有 r(PAQ) = r(A)
6. A 为 m x n 矩阵，且 r(A) = n（列满秩），则 r(AB)= r(B)
7. A 为 m x n 矩阵，B 为 n x s 矩阵，且 AB = O，则 r(A) + r(B) ≤ n
8. 若 A 与 B 相似即 A~B，则有 r(A) = r(B)
9. max{r(A),r(B)} ≤ r(A,B) ≤ r(A) + r(B)
10. 伴随矩阵 A* 的秩：0、1、n

ｎ维向量

向量组的定理辨析
梳理思路：从定义 到 方程组 到 方程组的直观理解 到 系数矩阵的秩 的解释

🔺向量组线性相关 ⇔ 至少存在一组非零系数使向量组为 0 ⇔
齐次方程组有非零解 ⇔ 行列式 = 0 ⇔ 未知数数量比方程组多 ⇔
n 维列向量对应 n 个方程组，s 个列向量对应 s 个未知数，s > n ⇔
系数矩阵为扁长方形则一定相关 ⇔ 有效方程组数量（向量组的秩）小于未知数个数 s（列数）

向量 α 和 β 线性相关，则 β=kα

🔺向量组线性无关 ⇔ 当且仅当 k1=k2=...=ks=0 向量组 = 0 ⇔
齐次方程组只有零解 ⇔ 若为 nxn 则 行列式 ≠ 0（可逆）⇔ 未知数数量比方程组少
⇔ 向量组的秩（有效方程组数量）等于列数（未知数个数），即列满秩（A 为 m x n 矩阵，则有 0 ≤ r(A) ≤ min{m,n}）⇔ 向量组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出

判定向量组线性无关

1. 用定义，k1=k2=...=ks=0，利用已知条件对式子做变换（左乘、右乘 / 相加减）
2. 方程组只有零解 ⇔ 特殊情况：当矩阵为 nxn 时，行列式 ≠ 0 ⇔ 一般情况：矩阵满秩
   行向量组线性无关 ⇔ 行满秩
   列向量组线性无关 ⇔ 列满秩
3. 整体组无关，部分组无关

相关无关判定
部分组相关 ⇒ 整体组相关
整体组无关 ⇒ 部分组无关

缩短组无关 ⇒ 延伸组无关
延伸组相关 ⇒ 缩短组相关

p68 定理 3.7 理解
相关的多数向量能用少数向量表出（少数向量是基底，多数向量为空间中的很多向量）
无关的少数向量能用多数向量表出（空间中的很多向量通过变换可以求出基底）

向量线性表出相关定理

1. x1α1+x2α2+....=xnαn=β 有非零解
2. [α1,α2,...,αn,β] 方程组有解，r(A)=r($\overline A$)
3. 高维可以表示低维：α1,α2,...,αt 可由 β1,β2,...,βt 表出，则 r(α1,α2,...,αt) ≤ r(β1,β2,...,βt)
4. 向量组 α1,α2,...αm 线性相关 ⇔ 向量组中至少有一个向量可由其余的 m-1个向量线性表出
5. 若向量组 α1,α2,...αm 线性无关，而 β,α1,α2,...αm 线性相关，则 β 可由 α1,α2,...αm 线性表出，并且表示法唯一
6. 向量组 B 能由向量组 A 线性表出 ⇔ r(A,B)=r(A) （B是由A表出的，所以A,B的秩还是A的秩 / r(A)=r($\overline A$)）

线性方程组

化简线性方程组不能列变换

线性方程组有解辨析
对于 m×n 矩阵，分为三种情况，m>n、m<n、m=n，讨论在这三种情况下 齐次 和 非齐次 解的情况
核心思想：对于 β 一列，经过变换后无法判断尾部是否为 0
🔺对于 m>n，即 行>列，方程组个数大于未知数个数。设系数矩阵为 A
若 r(A)=n 即列满秩 { r(A) 恒小于等于 n }，此时 n 个有效方程组，n 个未知数，则方程组 Ax=0 有唯一 0 解；Ax=β 可能有解也可能无解。有解时：r($\overline A$)≤r(A)；无解时：r($\overline A$)>r(A)

🔺对于 m<n，即 行<列，方程组个数小于未知数个数。此时 Ax=0 一定有非零解；Ax=β 可能有解也可能无解。若 r(A)=m 即 A 行满秩 { r(A) 恒小于等于 m }，r($\overline A$) 恒等于 r(A)，则一定有解；若 r(A)<m，有解时：r($\overline A$)≤r(A)；无解时：r($\overline A$)>r(A)

🔺对于 m=n，即 行=列，方程组个数等于未知数个数。
若 r(A)=n 即 A 满秩，方程组 Ax=0 只有 0 解，此时 r($\overline A$) 恒等于 r(A)，Ax=β 有唯一解；若 r(A)<n，方程组 Ax=0 有无穷个非 0 解，此时对于 Ax=β ：有解时：r($\overline A$)≤r(A)；无解时：r($\overline A$)>r(A)

💠综上，没说明行列关系时，r(A) 推不出 r($\overline A$)，由 齐次 解的情况推不出 非齐次 解的情况

特征值与特征向量

求特征值特征向量注意的问题

1. 带入特征值化简时可先根据秩消去一行
2. 特征向量需要加系数 k
3. 重根的特征向量是基础解系相加，如 k1α1+k2α2

实对称矩阵
实对称矩阵不同特征值的特征向量一定正交
实对称矩阵同一特征值的不同特征向量线性无关，但不一定正交，
在要求求对应的正交矩阵时，要施密特正交化

又因为 n 阶方阵可相似对角化 ⇔ A 有 n 个线性无关的特征向量
所以 n 阶实对称矩阵必可以相似对角化

矩阵的迹：tr(A)
迹：主对角线元素之和（不管怎么变化，矩阵的迹不会变），等于矩阵的特征值之和。

矩阵满足什么条件才能相似对角化！（相似于对角矩阵）

判断矩阵相似
“两个矩阵相似”的充要条件只有相似矩阵的定义本身
矩阵 A 与矩阵 B 相似 等价于 存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P^(-1)AP=B成立
“两个矩阵相似”的必要条件有：
1、两个矩阵的秩相等
2、两个矩阵对应的行列式相等
3、两个矩阵有相同的特征多项式、特征方程及特征值（迹相等）

注意：可逆矩阵P不唯一（列不同或者差一个倍数）
线性代数——相似矩阵的可逆变换矩阵P是否唯一

判断步骤：

1. 迹相等，不相等——>不相似
2. 行列式值相等，不相等——>不相似
3. 求特征值，不相等——>不相似
4. 求特征向量的个数（秩），不相等——>不相似

判断可相似对角化
充要条件只需记“n 个特征值对应 n 个线性无关的特征向量”
注意，任何矩阵，不同特征值对应的特征向量线性无关

正交矩阵
正交矩阵（Orthogonal Matrix）是指其转置等于其逆的矩阵。
ATA=E
在求正交矩阵的时候，不同特征值的特征向量一定正交。相同特征值对应的特征向量不一定正交，所以要进行施密特正交化。
然后把所有特征向量单位化，按列排列成正交矩阵。

矩阵等价 & 向量组等价
矩阵等价：A 经过有限次初等变换可以变成 B ⇔ r(A)=r(B)
向量组等价：两个向量组可以相互线性表出

矩阵等价，其行列向量组都可以不等价；矩阵等价和行列向量组等价无关

矩阵的等价，相似，合同
关系：
（（（相似）合同 ）等价 ）

判断等价
r(A)=r(B)

判断合同

1. 定义法
2. 正负惯性指数相同（一定在标准型中看）

判断相似
相似没有判断的充要条件，只能用必要条件判断
必要条件：
特征值相同，以及特征值相同相关判定。
注意，特征值相同，矩阵不一定相似
是否均可相似对角化

从上往下，判断合同必须满足等价，判断相似必须满足合同

“拨开迷雾”，如何判定矩阵相似？