【考研441分】24考研数学全年规划！B站最全！
考生必记：三角函数公式汇总+记忆（没有比这更全）
在线函数作图
数学竞赛小 tips
两项形式相似想夹逼，放缩，最大最小值
真 题 嗅 探
2020年前：证明喜欢中值定理
2020年后：证明喜欢泰勒
n 项和展开公式：二项式定理
A=>B，A 能推出 B，则 A 是 B 的充分条件（B 的充分条件是 A），B 是 A 的必要条件（A 的必要条件是 B）
A 能推出 B，则 A 发生，B 一定发生，则事件 A ∈ B （小充分，小的是充分条件，大必要，大的是必要条件）
函数极限和数列极限的辨析
🔸函数
极限可以取在任意位置
🔸数列 （定义在 0, +∞）极限的定义理解：
n 趋于正无穷时，xn 趋于 a
注
数列的极限一定是 n 趋向于无穷，因为数列中的 n 是指自然序列，也就是 n=1，2，...... 以此类推，也就是说，n 只取正整数，所以求数列的极限 n 只能趋于正无穷大。有限数列没有极限，只有无穷数列才有极限
函数有界和数列有界的辨析
🔸函数有界
f(x) 在 (a,b) 上连续，且 f(a+) f(b-) 均存在。区间可以拓展到无穷，只要保证两端极限均存在即有界。
🔸数列有界
任意一项均小于一个数 && 大于一个数。比如 xn = 1/n，上界：1，下界：0
有界数列一定有上界和下界；只有上界/下界的数列不是有界数列
极限和有界的联系
🔸函数
函数有极限 a，则在 a 的邻域内局部有界（可以拓展为无穷）
函数有界不能推出函数有极限，比如 sin cos
🔸数列
如果一个数列“收敛”（有极限），那么这个数列一定有界
如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
无穷小和有界
函数在 x->x0 无穷小，则 x0 点极限为 0，且在 x0 邻域内局部有界。（显而易见，为了和数列做对比）
无穷小数列，n->+∞ ，an = 0；无穷小数列同时是有界和收敛数列
综上分析：
数列 xn = 1/n，上界：1，下界：0；极限 n->∞ xn = 0；1/n 是无穷小数列
经典反例
在判断无穷和有界的题目中，经典反例如下
xn = 0 n奇；n n偶；yn = n n奇；0 n偶；
xn，yn 的无穷极限不存在；都是无界值；xn 和 yn 相乘为0；
xn = 1，1，3，1，.... yn = 1，2，1，4，....
xn，yn 无穷极限不存在，但 xn 和 yn 乘积极限为无穷；
可去间断点
f(x) 在 x₀ 处得到左、右极限均存在且相等的间断点，称为可去间断点。 需要注意的是，可去间断点需满足 f(x) 在 x₀ 处无定义，或在 x₀ 处有定义但不等于函数 f(x) 在 x₀ 的左右极限。
拉格朗日中值求极限要保证 f′(ξ) 不为 0 / ∞
一文彻底搞懂拉格朗日中值定理秒杀复杂极限问题（内含高级秒杀结论）
注意，n 阶可导，洛必达只能到 n-1 阶。
因为 n 阶可导，只能保证 n-1 阶导数存在且连续。而不知道 n 阶导数是否连续。不连续是不能用洛必达的。
若 n 阶连续可导，则可以洛到 n 阶
驻点
驻点是一阶导数等于零的点，拐点是指函数凹凸性发生改变的点。 驻点要么是极值点（二阶导不等于零）要么是拐点（二阶导等于零）。
拐点
函数在某点的二阶导数为零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。若二阶导数在该点两侧符号相同，则不是拐点。
渐近线
先找间断点，看有没有铅直渐近线
再把x趋向于无穷，看有没有水平渐近线
有水平渐近线的地方没有斜渐近线
没有水平渐近线的一侧，找斜渐近线
积分
不定积分：原函数的存在定理
- fx 连续，则原函数 Fx 一定存在
- fx 不连续，fx 存在第一类间断点，则 Fx 不存在；fx 仅存在震荡间断点，Fx 可能存在（x²sin(1/x)）
连续 -> 有原函数；有原函数 !-> 连续
定积分的可积性
必要条件：可积函数必有界
充分条件：在闭区间 [a, b] 上
- fx 连续
- fx 有界，且只有有限个间断点
- fx 只有有限个第一类间断点（间断点对定积分无影响）
注意
fx 可积指的是在一定区间上的定积分，而是否存在原函数指的是不定积分，二者不同
快速学会“极坐标积分换序”
最简单的方法就是把 θ 和 r 换在直角坐标中，然后使用直角坐标的思路进行换限。
注意换完限之后也要加 rdrdθ
积分不等式比较
常用结论
sinx < x < tanx (x∈[0, pai])
积分不等式证明常用思路
- 拆积分限，使两边积分限相等，再做比较
- 变量代换，使两边积分限相等
- 积分中值定理
- fx 单调性已知，构造变上限积分
反常积分审敛
- 定义法：直接求积分
- 和 p 积分相比较：① 直接将原式化为 p 积分进行判断 ②和 p 积分作比求极限
带绝对值的积分
由定积分推得二重积分，都需要分区间讨论，二重积分的区间就是被积区域，通过几何关系讨论正负
带绝对值的定积分：分区间讨论
被积函数带有绝对值的二重积分
极坐标换元
x = rcosθ
y = rsinθ
θ 范围直接看就行，把 r 和 θ 带入原方程，求得 r 的范围。
如：x^2 + y^2 <= 2x；带入得：r^2 <= 2rcosθ；r <= 2cosθ
注：r 恒大于 0
质心
质心计算公式
收敛域和收敛区间
收敛区间是个开区间，而收敛域就是判断在收敛区间的端点上是否收敛
收敛半径一定存在
二重积分的奇偶性
有积分区域 D
x 奇偶看 D 是否关于 y 轴对称；y 奇偶看 D 是否关于 x 轴对称
关于 x/y 为奇函数，积分为 0；关于 x/y 为偶函数，则积分为二倍
计算第二型曲面积分的方法
- 若曲线封闭，用格林公式
- 若与路径无关，改换路径/找原函数
- 补线用格林
- 直接换元计算
判断是否与路径无关：若 ∂P/∂y = ∂Q/∂x，则与路径无关，反之不是
改换路径：沿坐标轴走直线，可先沿x再沿y，也可先沿y再沿x，看哪个更简单
找原函数：凑微分，直接带值
补线用格林：补一条路径，形成封闭曲线，再把补的减掉
注意格林公式使用条件，P、Q 在封闭曲线上有连续一阶偏导。若在某点（比如0点）没有定义
无穷级数
级数选择题中的反例汇总（不只是反例，更是思想方法！）
收敛+发散 必发散
收敛+收敛 必收敛
都发散，和敛散性不定，比如两数列恰好抵消，则为收敛
加括号会提高级数收敛的可能性
收敛级数加括号仍收敛
若级数加括号收敛，则原级数不一定收敛
加括号后发散，原级数一定发散
原因：加括号可能抵消一些项，可能会使级数收敛
审敛法只是充分条件，非必要条件，且只适用于正项级数
比如当比值/根值等于1时，就判断不出来了
加绝对值会提高发散的可能性，由于都变为正项，整体值变大
正项级数变为交错级数，提高收敛可能性
提高阶数，提高收敛可能性
条件收敛也是收敛，指的是级数本身收敛，但加了绝对值不收敛
绝对收敛是，加了绝对值都收敛，那么原级数更收敛，二者都是收敛
落脚点都在原级数
和函数计算
- 求收敛域，也就是和函数的定义域（因为逐项可导、逐项可积都是在开区间上成立）
- 在收敛区间（开区间上求和函数）
- 单独判断端点，若不能合并，需要分段
注意：
- 已知 S'(x) 求 S(x) 需要使用变上限积分 ∫x S(t)dt
- 只要对 x 的 n 次方进行改变的时候，就要判断 n 从 0 还是 1 开始取
曲线曲面积分
各类重积分 | 二重积分、三重积分、线面积分 —— 大总结
是否可以带入边界方程
曲线曲面积分可直接带入边界方程，而二重、三重积分不可；使用格林、斯托克公式将线面积分化为二三重积分后也不可带入
对称性、奇偶性
一型线面积分都有奇偶性、轮换对称性；二型线面无
🔺判断曲线对称性的小方法
将曲线线方程中的 x 换 -x 后，方程不变，则该曲线关于 x=0（即 y 轴）对称
当然最靠谱的是配方，然后看相对标准曲线的偏移
一型线积分
得到的是弧长 / 周长；有对称性，可以直接带入边界方程
二型线积分（今年概率大）
对线坐标的积分，无对称性，
- x y 的参数式，直接计算（考的情况很少）
- 补线用格林（必须封闭）且是：∂Q/∂x - ∂P/∂y （别反了）
- 面积在线左侧为正
- 区域内点必须有定义，否则单独圈出来处理
- 线积分与路径无关：∂Q/∂x =∂P/∂y
一型面积分
得到曲面面积；对称性
二型面积分（去年考的这个）
注意：只有用高斯公式时才需要考虑曲面是否封闭，投影法不需要
投影法可以考虑的点：
- 若投到面上为一条线，则积分为 0
