行列式

性质

1. 行列式的性质对于行和列都满足
2. 行列式中相邻的两行(列)互换，行列式值反号。注意，不是相邻的行(列)不能直接交换，必须一行一行或者一列一列的交换。
3. 某一行乘 k，行列式乘 k；所有行都乘 k，行列式乘 k 的 n 次方
4. 有两行(列)一样 / 成倍数（提出一个 k 还是一样）行列式值为 0
5. 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和
6. 矩阵可逆 行列式 ≠ 0
7. 矩阵转置行列式的值不变
8. $|kA| = k^n |A|$

矩阵

与矩阵的秩有关的结论

1. A 为 m x n 矩阵，则有 $0 ≤ r(A) ≤ min(m,n)$
2. $A^T$ 为 $A$ 的转置，则有 $r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)$
3. 若 A 与 B 相似即 A~B，则有 $r(A) = r(B)$
4. $r(AB) ≤ min(r(A),r(B))$
5. $r(A + B) ≤ max(r(A),r(B)) ≤ r(A,B) ≤ r(A) + r(B)$
6. 若 P，Q 可逆，则有 $r(PAQ) = r(A)$
7. 若 A 可逆， $r(AB)=r(BA)=r(B)$
8. A 为 m x n 矩阵，且 $r(A) = n$（列满秩），则 $r(AB)= r(B)$
9. A 为 m x n 矩阵，B 为 n x s 矩阵，且 $AB = O$，则 $r(A) + r(B) ≤ n$
10. 伴随矩阵 A* 的秩：0、1、n

【矩阵】分块矩阵！那些"考研机构"舍不得讲的内容...

ｎ维向量

向量组的定理辨析
梳理思路：从定义 到 方程组 到 方程组的直观理解 到 系数矩阵的秩 的解释

🔺向量组线性相关 ⇔ 至少存在一组非零系数使向量组为 0 ⇔
齐次方程组有非零解 ⇔ 行列式 = 0 ⇔ 未知数数量比方程组多 ⇔
n 维列向量对应 n 个方程组，s 个列向量对应 s 个未知数，s > n ⇔
系数矩阵为扁长方形则一定相关 ⇔ 有效方程组数量（向量组的秩）小于未知数个数 s（列数）

向量 α 和 β 线性相关，则 β=kα

🔺向量组线性无关 ⇔ 当且仅当 $k_1=k_2=...=k_s=0$ 向量组 = 0 ⇔
齐次方程组只有零解 ⇔ 若为 nxn 则 行列式 ≠ 0（可逆）⇔ 未知数数量等于方程组
⇔ 向量组的秩（有效方程组数量）等于列数（未知数个数），即列满秩（A 为 m x n 矩阵，则有 $0 ≤ r(A) ≤ min(m,n)$）⇔ 向量组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出

注意，有效方程组只能为扁长形和正方形，不能为竖长，竖长意味着方程组个数大于未知数，则无解

判定向量组线性无关

1. 用定义，$k_1=k_2=...=k_s=0$，利用已知条件对式子做变换（左乘、右乘 / 相加减）
2. 方程组只有零解 ⇔ 特殊情况：当矩阵为 nxn 时，行列式 ≠ 0 ⇔ 一般情况：矩阵满秩
   行向量组线性无关 ⇔ 行满秩
   列向量组线性无关 ⇔ 列满秩
3. 整体组无关，部分组无关

相关无关判定
部分组相关 ⇒ 整体组相关
整体组无关 ⇒ 部分组无关

缩短组无关 ⇒ 延伸组无关
延伸组相关 ⇒ 缩短组相关

p68 定理 3.7 理解
相关的多数向量能用少数向量表出（少数向量是基底，多数向量为空间中的很多向量）
无关的少数向量能用多数向量表出（空间中的很多向量通过变换可以求出基底）

向量线性表出相关定理

1. $x_1α_1+x_2α_2+....=x_nα_n=β$ 有非零解
2. $[α_1,α_2,...,α_n,β]$ 方程组有解，$r(A)=r(\overline A)$
3. 高维可以表示低维：$α_1,α_2,...,α_t$ 可由 $β_1,β_2,...,β_t$ 表出，则 $r(α_1,α_2,...,α_t) ≤ r(β_1,β_2,...,β_t)$
4. 向量组 $α_1,α_2,...α_m$ 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余的 $m-1$个向量线性表出
5. 若向量组 $α_1,α_2,...α_m$ 线性无关，而 $β,α_1,α_2,...α_m$ 线性相关，则 $β$ 可由 $α_1,α_2,...α_m$ 线性表出，并且表示法唯一
6. 向量组 B 能由向量组 A 线性表出 ⇔ $r(A,B)=r(A)$ （B是由A表出的，所以 $A,B$ 的秩还是 $A$ 的秩 / $r(A)=r(\overline A)$）

向量空间

1. 基底变换：由基 $α_1，α_2，α_3 到 β_1，β_2，β_3$
   对 $α$ 矩阵 列变换，右乘过渡矩阵 $C$：$β=αC$
2. 坐标变换
   $x=Cy$，$x$ 是在 $α$ 下的坐标，$y$ 是在 $β$ 下的坐标（交叉原则）
3. 求 $γ$ 在 $α$ 下的坐标
   列为：$x_1α_1+x_2α_2+x_3α_3=γ$，将左侧化为单位矩阵，右边则为 $γ$ 在 $α$ 下的坐标

线性方程组

化简线性方程组不能列变换

线性方程组有解辨析
对于 m×n 矩阵，分为三种情况，m>n、m<n、m=n，讨论在这三种情况下 齐次 和 非齐次 解的情况
核心思想：对于 β 一列，经过变换后无法判断尾部是否为 0
🔺对于 m>n，即 行>列，方程组个数大于未知数个数。设系数矩阵为 A
若 $r(A)=n$ 即列满秩（ $r(A)$ 恒小于等于 n ），此时 n 个有效方程组，n 个未知数，则方程组 $Ax=0$ 有唯一 0 解；$Ax=β$ 可能有解也可能无解。有解时：$r(\overline A)≤r(A)$；无解时：$r(\overline A)>r(A)$

🔺对于 m<n，即 行<列，方程组个数小于未知数个数。此时 $Ax=0$ 一定有非零解；$Ax=β$ 可能有解也可能无解。若 $r(A)=m$ 即 A 行满秩（ $r(A)$ 恒小于等于 m ），r($\overline A$) 恒等于 $r(A)$，则一定有解；若 $r(A)<m$，有解时：$r(\overline A)≤r(A)$；无解时：$r(\overline A)>r(A)$

🔺对于 m=n，即 行=列，方程组个数等于未知数个数。
若 $r(A)=n$ 即 A 满秩，方程组 $Ax=0$ 只有 0 解，此时 $r(\overline A)$ 恒等于 $r(A)$，$Ax=β$ 有唯一解；若 $r(A)<n$，方程组 $Ax=0$ 有无穷个非 0 解，此时对于 $Ax=β$ ：有解时：$r(\overline A)≤r(A)$；无解时：$r(\overline A)>r(A)$

💠综上，没说明行列关系时，$r(A)$ 推不出 $r(\overline A)$，由 齐次 解的情况推不出 非齐次 解的情况

注
方程组基础解系：$α_1 α_2$
求方程组的通解：$k_1α_1+k_2α_2$
重特征值的特征向量：$k_1α_1+k_2α_2$

特征值与特征向量

几何意义
特征向量的定义：$Aα = λα$（α 非零）
一个矩阵点乘一个向量就相当于对该向量进行旋转或者拉伸等一系列线性变换，特征向量在经过矩阵 A 的变换后，不改变方向，等价于由特征值 λ 进行缩放。如果特征值大于1，那么特征向量在变换后变长了；如果特征值小于1，特征向量变短了；如果特征值是负数，特征向量的方向会翻转。

特征向量指示了在进行矩阵变换时，矩阵空间中不变的方向。通过研究特征值和特征向量，可以简化一些矩阵的运算，抓住矩阵空间中的不变信息。

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）
特征值和特征向量是对方阵而言，对于非方阵（即行数和列数不相等的矩阵），通常不讨论特征向量和特征值，而是讨论奇异值分解（SVD）中的奇异向量和对角矩阵中的奇异值，这可以看作是特征值和特征向量的推广。奇异值分解是任何矩阵都可以进行的分解，它揭示了矩阵与特征值分解类似的某些性质，如数据压缩和结构简化。

特征值和特征向量可以写为：$A = PDP^{-1}$ D为特征值矩阵，P为特征向量矩阵
而奇异值分解定义为：$A = U \Sigma V^T$，U和V是正交矩阵，它们的列向量都是单位向量，且两两正交，U为 mxn，$V^T$为 nxm；Σ是一个 n×n 的对角矩阵，对角线上的非零元素称为奇异值，按从大到小的顺序排列，其余位置上的元素都是0。

最大的奇异值对应于数据中最主要的成分或特征，而较小的奇异值则对应于次要的成分。矩阵的秩等于其非零奇异值的数量。

在数据分析和信号处理中，可以通过保留最大的奇异值和对应的奇异向量来近似原始数据矩阵，从而实现数据压缩。这种压缩可以去除噪声和不重要的信息，同时保留数据的主要特征；最小二乘问题，SVD可以用来找到最小范数解；可以用于图像去噪、压缩、特征提取；PCA 中使用

求特征值特征向量注意的问题

1. 带入特征值化简时可先根据秩消去一行
2. 特征向量是基础解系加系数 k，如 kα
3. 重根的特征向量是基础解系相加，如 $k_1α_1+k_2α_2$
4. A-1的特征值是 1/λ，特征向量还是 α 不变

矩阵的迹：tr(A)
迹：主对角线元素之和（不管怎么变化，矩阵的迹不会变），等于矩阵的特征值之和。

反对称矩阵
$A=-A^T$

实对称矩阵
实对称矩阵不同特征值的特征向量一定正交
实对称矩阵同一特征值的不同特征向量线性无关，但不一定正交，
在要求求对应的正交矩阵时，要施密特正交化

又因为 n 阶方阵可相似对角化 ⇔ A 有 n 个线性无关的特征向量
所以 n 阶实对称矩阵必可以相似对角化

正交矩阵
转置等于其逆的矩阵
$A^TA=E$
在求正交矩阵的时候，不同特征值的特征向量一定正交。相同特征值对应的特征向量不一定正交，所以要进行施密特正交化。
然后把所有特征向量单位化，按列排列成正交矩阵。

判断可相似对角化
充要条件只需记“n 个特征值对应 n 个线性无关的特征向量”
注意，任何矩阵，不同特征值对应的特征向量线性无关（相同特征值不一定）

1. 有 n 个不同的特征值
2. k 重特征值对应 k 个线性无关的特征向量
3. 实对称矩阵一定可相似对角化（因为实对称不同特征值特征向量必正交）
   矩阵满足什么条件才能相似对角化！（相似于对角矩阵）

矩阵等价 & 向量组等价
矩阵等价：A 经过有限次初等变换可以变成 B ⇔ r(A)=r(B)
向量组等价：两个向量组可以相互线性表出

矩阵等价，其行列向量组都可以不等价；矩阵等价和行列向量组等价无关

矩阵的等价，相似，合同
关系：
（（（相似）合同 ）等价 ）

判断等价
r(A)=r(B)

判断合同

1. 充要条件：$C^TAC=B$，$C$ 可逆；非对称只能找是否有一个对称阵，一般题目给的都不难找
2. 两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数（在标准型中看）
   由于 $C^TAC=B$，若 $A$ 为实对称，则 $B$ 也为实对称，实对称矩阵的合同矩阵一定也对称
   非对称一定不和对称合同

判断相似
$P^{-1}AP = B$
实对称矩阵相似 ⇔ 特征值相等
非实对称：没有充要条件，只能用必要条件判断

1. 判定矩阵之迹
2. 判定行列式是否相等
3. 判定特征值是否相等
4. 判定重特征值是否对应相同个数的特征向量
   （也就是 λE-A 的秩）
   “拨开迷雾”，如何判定矩阵相似？
   线性代数——相似矩阵的可逆变换矩阵P是否唯一

从上往下，判断合同必须满足等价，判断相似必须满足合同

二次型

（数一）二次曲面类型与二次型的正负惯性指数的关系
求二次型对应的二次曲面，求出标准型，然后判断对应的曲线即可
🔺标准型的求法
① 配方法：一般是一次方程相乘，特别注意，经坐标变换，x=Cy，若 |C|=0，则不是坐标变换，不能用配方法
② 特征值法：一般有平方项了
🔺直观判断曲面的方法
分别看 xy xz yz 在 xoy，xoz，yoz 面上都是什么曲线，然后连起来即可

正定矩阵性质
对称、可逆

判断正定
充要条件

1. 正惯性指数为 n（特征值均大于零）
2. A 与 E 合同
3. 各阶顺序主子式大于零

二次型求标准型 ⇔ 二次型矩阵求特征值
所用正交矩阵就是矩阵正交的特征向量

证明正定

1. 检验 A 对称
2. 证明正定（用判断条件证明）

求二次型最值
最大值：最大特征值 乘以 $x^Tx$ 的值
最小值：最小特征值 乘以 $x^Tx$ 的值